Question

如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为c_l、c₂、c₃．试证明：，并指出等号成立时的值．

Answer

（1）根据∠BAC=90°，AD⊥BC，则∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠DEB，再由BF平分∠ABC，则∠ABF=∠EBD，从而得出AE=AF，根据等腰三角形的性质即可证明AH⊥EF；
（2）设，可证明Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，则得出，再根据三角形的周长得出cl、c2、c3．的关系式，并得出当k=时，等号成立，即为的值．
证明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠EBD，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；

（2）设，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴，
而BE=BF-2HF=x-2k•AF=x-2k2x=（1-2k2）x，
∴，，，
∴，
故当．