Question

如图1，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，BM⊥直线AC于M，DN⊥直线AC于N．

（1）线段OM、ON有什么样的数量关系？直接写出结论；
（2）若直线AC饶点A旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM、ON有什么样的数量关系？请给予证明；
（3）若直线AC饶点A继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．

Answer

（1）根据平行四边形性质得出OD=OB，证△DON和△BOM全等即可推出答案；
（2）ON交BM于E，证△DNO和△BOE全等，推出OE=ON，根据直角三角形斜边上的中线性质求出集；
（3）根据平行四边形性质推出OD=OB，根据平行线分线段成比例定理求出NE=MN，根据线段垂直平分线定理求出集．
【解析】
（1）OM=ON．

（2）OM=ON，
理由是：∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴BM∥DN，
∴∠DNO=∠BEO，∠NDB=∠MBD
∵平行四边形ABCD，
∴OD=OB，
在△DNO和△BEO中
∠DNO=∠BEO，∠NDB=∠MBD，OD=OB，
∴△DNO≌△BEO，
∴ON=OE，
∵∠BMN=90°，
∴OM=ON（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

（3）规律：AC绕A旋转到任意位置均有OM=ON，
如图所示：AC旋转到AC′，过O作OE⊥AC′，
∵平行四边形ABCD，
∴OD=OB，
∵DN⊥AC′，OE⊥AC′，BM⊥AC′，
∴DN∥OE∥BM，
∵DO=OB，
∴根据一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的相等也相等得出：NE=ME，
∴ON=OM．