Question

已知抛物线Y=x²-（m²+4）x-2m²-12
（1）证明：不论m取什么实数，抛物线必与x有两个交点
（2）m为何值时，x轴截抛物线的弦长L为12？
（3）m取什么实数，弦长最小，最小值是多少？

Answer

（1）因为△=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12），配方后得到△=（m2+8）2，而m2+8＞0，得到△＞0，即可得到结论；
（2）令y=0，则x2-（m2+4）x-2m2-12，解方程得到x1=m2+6，x2=-2，于是L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8，令L=12得到m2+8=12，解方程即可得到m的值；
（3）由L=m2+8，根据二次函数的最值问题即可得到m=0时，L有最小值，最大值为8．
【解析】
（1）证明：△=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12）
=（m2+8）2，
∵m2≥0，
∴m2+8＞0，
∴△＞0，
∴不论m取什么实数，抛物线必与x有两个交点；
（2）令y=0，x2-（m2+4）x-2m2-12，
∴x=，
∴x1=m2+6，x2=-2，
∴L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8，
∴m2+8=12，解得m=±2，
∴m为2或-2时，x轴截抛物线的弦长L为12；
（3）L=m2+8，
∴m=0时，L有最小值，最小值为8．