Question

已知A₁、A₂、A₃是抛物线上的三点，它们相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），直线A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴于点B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁B₃于点C．
（1）当n=4时，如图1，求线段CA₂的长；
（2）如图2，若将抛物线改为抛物线y=x²+c（其中c是常数，且c＞0）．其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线改为抛物线y=ax²+c（其中a、c是常数，且a＞0）．其他条件不变，求线段CA₂的长，并直接写出结果（结果用a、c表示）

Answer

（1）根据条件可以求出A1、A2、A3的坐标，从而可以求出A1B1、A2B2、A3B3的值，再A1、A3的坐标求出直线A1A3的解析式，就可以求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
（2）由A1、A2、A3三点的横坐标可以求出A1、A2、A3三点的坐标，可以求出直线A1A3的解析式，就可以求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
（3）由（2）同样的方法求出求出A1、A2、A3三点的坐标，求出直线A1A3的解析式，再求出C的坐标，可以确定B2C的值，从而可以求出CA2的值．
【解析】
（1）∵A1、A2、A3相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），且n=4，
∴A1、A2、A3三点的横坐标依次为：2、4、6，
∴代入抛物线可求得A1（2，1）、A2（4，4）、A3（6，9）．
∴A2B2=4
设直线A1A3的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴线A1A3的解析式为y=2x-3，当x=4时，y=5，
∴C（4，5）
∴CB2=5，
∴CA2=1．

（2）∵A1、A2、A3相应的横坐标为连续偶数（n-2）、n、（n+2）（其中n＞2），
∴代入抛物线y=x2+c，可求得A1（n-2，n2-4n+4+c）、A2（n，n2+c）、A3（n+2，n2+4n+4+c）．
∴A2B2=n2+c．
设直线A1A3的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴线A1A3的解析式为y=2nx-n2+4+c，当x=n时，y=n2+4+c，
∴C（n，n2+4+c），
∴CB2=n2+4+c，
∴CA2=4．

（3）由题意，得
CA2=4a（a＞0）．