Question

如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若==．
（1）请写出线段PG与PC所满足的关系；并加以证明．
（2）若将图①中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图②．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果．
（3）若将图①中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请猜想（1）中的结论有没有变化？

Answer

（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证△DHP和△PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），得出两三角形全等，于是△CHG就是等腰直角三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP⊥PG；
（2）方法同（1），只不过△CHG是个等腰三角形，得出顶角为120°，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系；
（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG是个等腰三角形，关键是证△GFP≌△HDP，根据已知得出△HDC≌△GBC，然后得出即可．
【解析】
（1）延长GP交DC于H，
∵DC∥GF，
∴∠DHP=∠PGF，∠DPH=∠GPF，
∵DP=PF，
∴△DHP≌△PGF，
∴HD=GF，
∵四边形ABCD和四边形GFEB是菱形，
∴DC=CB，FG=GB，
∴DH=GB，
∴DC-DH=CB-GB，
∴CH=CG，
∴△CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，
即可得出CP⊥PG；
∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；

（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
证明：如图②，延长GP到H，使PH=PG，
连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵==，
∴∠ADC=∠ABC=60°，∠GBF=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、F又在一条直线上，
∴∠FBC=120°，
∴∠HDC=∠CBG=60°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
即在△HDC与△GBC中，
，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC．

（3）将图①中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，
（1）中的结论没有变化，PG⊥PC．