Question

如图1，直线y=-kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA-AB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．

Answer

（1）根据x=0时，y=6k，y=0时，x=6，得出OB=6k，OA=6．再利用S△AOB=24，求出即可；
（2）根据当点P在OA上运动时，0＜t≤3，以及当点P在AB上运动时，利用三角形相似的性质求出即可；
（3）利用当点P在OA上时，点M在点F左侧，以及当点P在AB上时，分别得出t的值即可．
【解析】
（1）令x=0时，y=6k（k＞0）；
令y=0时，x=6，
∴OB=6k，OA=6．S△AOB=24，
∴，
 解得，
∴AB的解析式为；

（2）根据题意，OE=t，EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴，
∴，
①如图1，当点P在OA上运动时，0＜t≤3，过P作PH⊥EF，垂足是H，
则PH=OE=t，∴，∴； 
②如图2，当点P在AB上运动时，过P作PG⊥OA，垂足是G，
直线PG与EF相交于点R，则GR=OE=t．
在△APG中，PG∥OB，
∴△APG∽△ABO，
∴，
∴，∴，
当P与F重合时，有PG=OE，此时 ，解得t=8．PR=GR-PG，
∴，
∴，
当3＜t＜8时，，
综上所述，求得的解析式是；

（3）①如图3，当点P在OA上时，点M在点F左侧．过点M作MD⊥AB，垂足是D，过点F作FS⊥OA，垂足是S，
∴FS=OE=t，EM=OP=2t．
在△MFD中，∠MDF=90°，tan∠MFD=tan∠BAO===，
令MD=4k，则DF=3k，
∴．
在△MAD中，，
∴AD=8k=AF+DF=AF+3k，
∴AF=5k=MF．在△AFS中，，
∴，MF=EF-EM，
∴，
解得，
当点P在OA上时，点M在点F右侧．可计算得出；
②如图4，当点P在AB上时，过点M作MD'⊥AB，垂足是D'，
在△PMD′中，=，
令MD′=3m，则PD′=4m，MP=5m，AD′=6m．AP=AD′-PD′，
∴AP=2m，，
∴，
解得，
综上所述，满足要求的t值是或或．