Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为高线，点E在边BC上，且BE=2EC，连接AE，EF⊥AE，与边AB相交于点F．
（1）如图1，当tan∠BAC=1时，求证：EF=2EG
（2）如图2，当tan∠BAC=2时，则线段EF、EG的数量关系为______；
（3）如图3，在（2）的条件下，将∠FEG绕点E顺时针旋转α，旋转后EF边所在的直线与边AB相交于点F′，EG边所在的直线与边AC相交于点H，与高线CD相交于点G′，若AH=3，且=，求线段G′H的长．

Answer

（1）根据tan∠BAC=1=tan45°，得出△ABC为等腰直角三角形，再过E点作EK⊥BC，EK与CD相交于点K，得出∠GKE=45°=∠B，再根据∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，得出△GEK∽△FEB，从而证出，即可得出EF=2EG；
（2）根据（1）的证明过程，同理可证出当tan∠BAC=2时，得出EF=EG；                              
（3）根据（2）的结论，先设AC=3k，得出，再过点E作EM⊥BC，EM与CD的延长线相交于点M，得出△AGC∽△EGM，得出，再过点G作GN∥EH，与AH相交于点N，得出△ANG∽△AHE，得出NH的值，同理得出△GEM∽△FEB，得出EF=EG．同理可证EF′=EG′，∠FEF'=∠GEG'，得出△GEG'≌△FEF'，即可证出的值，再根据HG′∥NG，同理可证，得出EC=CH，得出△HCE是等腰直角三角形，在△HG'C中，求出CW的值，从而得出G′H 的值．
（1）证明：在Rt△ABC中，tan∠BAC=1=tan45°，
∴∠BAC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=45°，
过E点作EK⊥BC，EK与CD相交于点K，
∴∠GKE=45°=∠B
∵∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，
∴∠GEK=∠FEB，
∴△GEK∽△FEB，
∴，
∴EF=2EG；
（2）根据（1）的证明，同理可证：
当tan∠BAC=2时，EF=EG；                              
（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
则tan∠BAC=tan∠CAD=tan∠BCD=2，
设AC=3k，则，
过点E作EM⊥BC，EM与CD的延长线相交于点M，tan∠ECM=2，
∴EM=4k．
在△AGC与△EGM中，
∵AC∥EM，
∴∠ACG=∠M．∠AGC=∠EGM，
∴△AGC∽△EGM
∴                    
过点G作GN∥EH，与AH相交于点N，
∴△ANG∽△AHE，
∴=，
∴，∴                  
∠GEM+∠MEF=90°=∠MEF+∠FEB，
∴∠GEM=∠FEB，
∠M=∠B，
∴△GEM∽△FEB，
∴，
∴EF=EG．
同理可证EF′=EG′．∠FEF'=∠GEG'，
∴△GEG'≌△FEF'，
∴FF'=GG'，
∴．
HG′∥NG，同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴
∴△HCE是等腰直角三角形，∠CHE=45°，
在△HG'C中，过点G'作G'W⊥CH，垂足是W，
设G'W=x，则，
∴CW=2x，CW+HW=CH，
∴，
∴，
∴．