Question

如图，△ABC中，AB＞AC，D为AB边上一点，AD=BC，记∠BCD，∠B的度数分别为α，β．
（1）当β=30°时，若∠ACD=α+β，则α=______°；
（2）若2α+3β=180°，请用α，β的代数式表示∠ACD的度数并证明你的结论．

Answer

（1）∠ADC=∠α+∠β=∠ACD，可以得出AD=AC，由条件可以得出AC=BC，则有∠B=∠A，继而利用三角形的内角和就可以求解；
（2）作△BDC关于CD的对称图形△CDE，连接AE，利用轴对称的性质和角的关系得出EF=DF，进而得出AF=FC，得出∠6=∠7，从而可以得出结论．
【解析】
（1）∵∠ADC=∠α+∠β，且∠ACD=α+β，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AD=AC，
∵AD=BC，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=β．
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴β+α+α+β+β=180°．
∵β=30°，
∴30°×3+2α=180°，
∴α=45°．
故答案为：45°

（2）∠ACD=α+β
证明：将△BCD沿CD所在的直线翻折到同一平面内，点B的对应点为E，连接AE，AD、CE的交点为F．
∴△ECD≌△BCD，
∴EC=BC，∠2=∠1=α，∠3=∠B=β，∠CDE=∠CDB．
∵2α+3β=180°，
∴∠CDE=∠CDB=180°-∠B-∠1=（2α+3β）-（α+β）=α+2β．
∵AD=BC，
∴AD=CE．
∵∠CDE=∠4+∠5，5=∠B+∠1=α+β，
∴∠4=∠CDE-∠5=α+2β-α-β=β，
∴∠4=∠3，
∴EF=DF．
∴AD-DF=CE-EF，即AF=CF，
∴∠6=∠7．
∵∠CFD同时是△DEF和△ACF的外角，
∴∠CFD=∠3+∠4=2∠3，∠CFD=∠6+7=2∠6
∴∠6=∠3=β，
∴∠ACD=∠2+∠6=α+β．