Question

如图（1）～（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．
（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图（3），当α+β=180°时，
①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
②若=2，求的值．

Answer

（1）作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，证明△PDF≌△PCE可得PC=PD；根据四边形内角和及等腰三角形性质可得∠PDC=∠AOB；
（2）根据（1）的思路可证结论成立；
（3）根据上面思路猜想，成立；根据上面结论可证△PDG∽△POD，从而求解．
【解析】
（1）PC=PD，∠PDC=∠AOB．

（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC==30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=∠AOB，

（3）①成立，
②∵∠PDC=∠AOB，
∠POD=∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴=．
又 =2，
∴=．