Question

已知，如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A，C两点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据△ABC与△ABM的面积相等，得出M的纵坐标为：±4，进而得出x的值即可；
（3）利用相似三角形的性质得出S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，进而求出即可；
（4）利用图象以及等腰三角形的性质假设若DO=DF时以及当FO=FD和当DF=OD时分别得出F点的坐标，将纵坐标代入二次函数解析式即可求出P点坐标．
【解析】
（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-，
∴y=-x2+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-x2+x+4；
解得：x 1=0，x 2=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-x2+x+4；
解得：x 1=1+，x 2=1-，
∴M点的坐标为：（1+，-4）或（1-，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+，-4）或（1-，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S△ABC=×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（）2==（）2，
∴S△BEQ=×12=x2，
∴S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，
当x=-==3时，S△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由-x2+x+4=2，
解得：x1=1+，x2=1-，
此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：
OM=OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-x2+x+4=3，
解得：x1=1+，x2=1-，
此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1-，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4，
∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：
P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．