Question

已知，如图，抛物线经过原点O和点B（m，-3），它的对称轴x=-2与x轴交于点A，直线y=-2x+1与抛物线交于点B，且与y轴、直线x=-2分别交于点D、C．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）求证：①AC=AB，②BD=CD；
（3）除B点外，直线y=-2x+1与抛物线有无公共点？并说明理由；
（4）在抛物线上是否存在一点P，使得PB=PC？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的对称轴为x=-2，且过O、A两点，因此A点的坐标为（-2，0）．可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后根据直线y=-2x+1求出B点的坐标，将B点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）①可根据抛物线的解析式求出B，C点的坐标，进而可求出△ACB三边的长，可据此证明AC=AB，
②可过C、B作y轴的垂线通过证三角形全等来得出D是BC中点即可；
（3）由题意可知：P点必为线段BC垂直平分线与抛物线的交点，可先求出线段BC的垂直平分线，然后联立抛物线的解析式，即可求出符合条件的P点的坐标．
【解析】
（1）∵点B（m，-3）在直线y=-2x+1上，
∴-3=-2×m+1，
∴m=2，
∴B（2，-3）
∵抛物线经过原点O和点M，对称轴为x=-2，
∴点M坐标为（-4，0）
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x-0）（x+4），将点B（2，-3）代入上式，
得-3=a（2-0）（2+4），
∴a=-，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=-x（x+4），
即y=-x2-x；

（2）①证明：∵直线y=-2x+1与y轴、直线x=-2的交点坐标分别为D（0，1），C（-2，5），
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=-2交于G，
∴BG⊥直线x=-2，BG=4、
在Rt△BGC中，AB==5，
∵AC=5，
∴AB=AC=5，
②证明：
过点C作CH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H（0，5），又点F、D的坐标为F（0，-3）、D（0，1），
∴FD=DH=4，BF=CH=2，∠BFD=∠CHD=90°
∴△DFB≌△CHD（SAS），
∴BD=CD；

（4）存在．
∵PB=PC，
∴点P在直线AD上，
∴符合条件的点P是直线AD与该抛物线的交点
设直线AD对应的函数关系式为y=kx+b，将D（0，1）A（-2，0）代入，
得 ，
解得，
∴直线AD对应的函数关系式为y=x+1，
∵动点P的坐标为（x，-x2-x），
∴x+1=-x2-x
解得x1=-3+，x2=-3-，
∴y1=，y2=，
∴符合条件的点P的坐标为（-3+，-）或（-3-，）．