Question

已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连接BF、BD、FD．
（1）BD与CF的位置关系是______．
（2）①如图，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为______．
②如图，当CE=2（即点E为CD中点）时，△BDF的面积为______．
③如图，当CE=3时，△BDF的面积为______．
（3）如图，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．

Answer

（1）证A、D、F共线，根据平行四边形的判定推出平行四边形BCFD即可；
（2）①根据三角形的面积公式求出即可；②③根据S△BDF=S四边形BCDF-S△BCF=S△BCD+S△CDF-S△BCF代入求出即可；
（3）由（2）求出了△BDF的面积，求出正方形的面积，即可得出答案．
【解析】
（1）正方形ABCD，等腰直角三角形CEF，
∴∠ADC=∠FDC=90°，
∴∠ADC+∠FDC=180°，
即A、D、F三点共线，
∵DF∥CB，DF=CD=BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴FC∥BD，
故答案为：平行．

（2）①△BDF的面积是DF×AB=×4×4=8，
故答案为：8．

②△BDF的面积是：S四边形BCFD-S△BCF
=S△BDC+S△CDF-S△BCF
=BC×DC+CD×EF-BC×CE
=×4×+×4×2-×4×2
=8，
故答案为：8．

③与②求法类似：△BDF的面积是S△BDC+S△CDF-S△BCF
=BC×CD+CD×EF-CB×EF
=×4×4+×4×3-×4×3
=8，
故答案为：8．

（3）△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系是S△BDF=S正方形ABCD．
证明：∵S△BDF=8，
S正方形ABCD=BC×CD=4×4=16，
∴S△BDF=S正方形ABCD．