Question

如图甲，点C是线段AB的中点，DE⊥AC于点E，且DE=AE=EC，FC⊥CB于点G，且FG=CG=GB．
（1）求证：△DCF是等腰直角三角形；
（2）将图甲中的AC绕点C逆时针旋转一个锐角，点H是AB的中点，如图乙所示．求证：△DHF是等腰直角三角形．

Answer

（1）先连接CD，CF，DF，由DE⊥AC，且DE=AE=EC，根据定义易证△DEC是等腰直角三角形，同理△FGC是等腰直角三角形，那么∠DCE=45°，∠FCG=45°，进而易求∠DCF=90°，根据DE=AE=EC，FG=CG=GB，且C是AB中点，易求DE=EC=FG=CG，利用SAS可证△DCE≌△FCG，从而可证△DCF是等腰直角三角形；
（2）先连接EH，GH，AD，CH，利用SAS易证△EAH≌△GBH，则有EH=GH，∠AEH=∠BGH，而∠AED=∠FGB=90°，结合周角概念易证∠DEH=∠FGH，再利用SAS可证△DEH≌△FGH，从而有HD=HF，通过已知条件可知△ACH是直角三角形，且EH是斜边上的中线，那么AE=ED=EH，则有∠EAH=∠EHA，∠DHE=∠HDE，结合△AED是等腰直角三角形以及三角形内角和定理可求∠AHD=45°，同理可求∠BHF=45°，进而可求∠DHF=90°，那么可证△DHF是等腰直角三角形．
证明：（1）如甲图，连接CD，CF，DF，
∵DE⊥AC，且DE=AE=EC，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，
同理有△FGC是等腰直角三角形，
∴∠FCG=45°，
∴∠DCF=180°-45°-45°=90°，
∵C是AB中点，
∴AC=BC，
又∵DE=AE=EC，FG=CG=GB，
∴DE=EC=FG=CG，
∵∠DEC=∠FCG=90°，
∴△DCE≌△FCG，
∴CD=CF，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（2）如乙图，连接EH，GH，AD，CH，
∵AC=BC，DE=AE=EC，FG=CG=GB，
∴∠A=∠B，AE=BG=DE=FG，
又∵H是AB中点，
∴AH=BH，
∴△EAH≌△GBH，
∴EH=GH，∠AEH=∠BGH，
∵DE⊥AC，FC⊥CB，
∴∠AED=∠FGB=90°，
∴360°-∠AED-AEH=360°-∠FGB-∠BGH，
即∠DEH=∠FGH，
∴△DEH≌△FGH，
∴HE=HG，
∵CA=CB，H是AB中点，
∴CH⊥AB，
又∵AE=CE，
∴AE=ED=EH，
∴∠EAH=∠EHA，∠DHE=∠HDE，
∵△AED是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴2∠EHA+2∠DHE+2×45°=180°，
∴∠EHA+∠DHE=45°，
即∠AHD=45°，
同理可求∠BHF=45°，
∴∠DHF=180°-45°-45°=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形．