Question

如图甲，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
（1）求点D的坐标；
（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，且GH为直径的圆与x轴相切，求这个圆半径的长；
（4）如图乙，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（0，3）两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3a求出a、b的值就可以求出抛物线的解析式．然后化为顶点式就可以就可以求出其顶点D的坐标．
（2）根据点B的坐标，待定系数法即可求出直线BD的解析式，从而求出直线BD与x轴的交点E的坐标，就可以求出AE的长度，根据平行四边形的性质就可以求出BF=2，知道F的横坐标，代入抛物线的解析式就可以求出F的坐标．
（3）根据抛物线的对称性和圆的而且显性质，可以知道M的横坐标，设出M的坐标，根据正方形的性质求出M的坐标，从而求出圆的半径．
（4）设出Q点的坐标，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，则利用S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA，就可以把其面积的表达式表示出来，最后化成顶点式就可以求出其最值和Q的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，
∴，解得：
抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
y=-（x-1）2+4
∴D（1，4）；

（2）∵四边形AEBF是平行四边形，
∴BF=AE．
∵B（0，3），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BD的解析式为：y=x+3
当y=0时，x=-3
∴E（-3，0），
∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，
∴AE=2
∴BF=2，
∴F的横坐标为2，
∴y=3，
∴F（2，3）；

（3）设直径为GH的⊙M切x轴于点N，连接MN，作HQ⊥x轴于Q，
∴MN⊥x轴，且MN=HM，
∴四边形MNQH为正方形．由抛物线的对称性得MH=MG，
∴M在抛物线的对称轴上，设M（1，a），
∴H（a+1，a），
∴a=-（a+1）2+2（a+1）+3，解得：
a1=，a2=．
∴这个圆半径的长为：，．

（4）如图，设Q（a，-a2+2a+3），作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），
∴AR=a+1，QR=-a2+2a+3，PS=3，RS=2-a，
∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA
=+-，
∴S△PQA=-（a-）2+，
∴当a=时，S△PQA的面积最大为，
∴Q（，）．