Question

已知抛物线y=3x²+2x+n，
（1）若n=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求n的取值范围．

Answer

（1）把n=-1，y=0代入抛物线解析式，通过解一元二次方程可求得交点坐标．
（2）分3种情况．第1种：△=0，n=；
第2种：把x=-1代入函数使y大于0，且把x=1代入函数，使y小于0，解这个不等式，可得n的取值范围；
第3种：把x=-1代入函数使y小于0，且把x=1代入函数，使y大于0，解这个不等式组，可得n的取值范围．
综合这三个结果即可得n的范围．在2，3种情况下必须保证△大于0．
【解析】
（1）当n=-1时，抛物线为y=3x2+2x-1，
方程3x2+2x-1=0的两个根为：x=-1或x=．
∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（）；（2分）
（2）∵抛物线与x轴有公共点，
∴对于方程3x2+2x+n=0，判别式△=4-12n≥0，
∴n≤．（3分）
①当n=时，由方程3x2+2x+=0，解得x1=x2=-．此时抛物线为y=3x2+2x+与x轴只有一个公共点（）；（4分）
②当n＜时，
x1=-1时，y1=3-2+n=1+n；
x2=1时，y2=3+2+n=5+n；
由已知-1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=-，
应有y1≤0，且y2＞0即1+n≤0，且5+n＞0．（5分）
解得：-5＜n≤-1．（6分）
综合①，②得n的取值范围是：n=或-5＜n≤-1．（7分）