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如图,已知抛物线经过点B(-2,3),原点O和x轴上另一点A,它的对称轴与x轴交...

如图,已知抛物线经过点B(-2,3),原点O和x轴上另一点A,它的对称轴与x轴交于点C(2,0).
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BE,设BE的中点为G,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBG的周长最小?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)根据抛物线的对称轴可得出A点坐标,然后根据O、A、B三点坐标,用待定系数法可求出抛物线的解析式. (2)可根据B、C的坐标,求出BC的长,然后根据CB=CE,将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标. (3)本题的关键是确定P点的位置,可取B关于抛物线对称轴的对称点D,连接DG,直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置.可先求出直线DG的解析式,然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标. 【解析】 (1)由题意知:A(4,0); 设抛物线的解析式为y=ax(x-4),已知抛物线过B(-2,3);则有: 3=ax(-2)×(-2-4), a= ∴抛物线的解析式为:y=x2-x; (2)过点B作BM⊥MC, ∵B点坐标为:(-2,3),C点坐标为:(2,0), ∴MC=4,BM=3, BC==5, ∴|CE|=5, ∴E1(2,5),E2(2,-5); (3)存在. ①当E1(2,5)时,G1(0,4),设点B关于直线x=2的对称点为D, 其坐标为(6,3) 直线DG1的解析式为:y=-x+4, ∴P1(2,) ②当E2(2,-5)时,G2(0,-1),直线DG2的解析式为:y=x-1 ∴P2(2,) 综合①、②存在这样的点P,使得△PBG的周长最小,且点P的坐标为(2,) 或(2,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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