Question

已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，OA²+OB²=10，抛物线交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）第一象限内，在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出点E的坐标；
（3）直线y=kx（k＜0）交直线y=x-3于P，交（1）中抛物线于M，过M作x轴的垂线，垂足为D，交直线y=x-3于N．问：△PMN能否为等腰三角形？若能，求出k的值；若不能，说明理由．

Answer

（1）利用已知得出A点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出G点坐标，再利用直线CG解析式联立二次函数解析式求出即可；
（3）利用若△PMN为等腰三角形，k＜0，分三种情况考虑：PM=MN，PM=PN，MN=PN分别得出即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（x1，0）、B（-1，0）且x1＞0，OA2+OB2=10，
∴OA2+（-1）2=10，
∴OA2=9，AO=±3，
∴A点坐标为（3，0），
将A，B代入y=ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴y=-x2+2x+3；

（2）∵∠ECO=∠ACB，
∴∠ECA=∠BCO，
过A作AG⊥AC交CE于G，过G作GH⊥x轴于H，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴=，
∴AG=，
由△AOC∽△GHA，
得AH=GH=1，
∴G点坐标为（4，1），
∴直线CG的解析式为：y=-x+3，
联立y=-x+3与y=-x2+2x+3，求得E（，），

（3）设直线y=x-3交y轴于F，则OF=OA=3，∠OAF=∠OFA=45°，
∵NM∥CE，∠PNM=∠OFA=45°，
若△PMN为等腰三角形，k＜0，分三种情况考虑：
①若PM=MN，则∠PMN=90°，与k＜0矛盾，舍去，
②若PM=PN，∠PMN=∠PNM=45°，则∠DOM=45°，
∴OD=DM，
∴k=-1，
③若MN=PN，则∠NMP=∠NPM，作PQ⊥y轴于Q，
∵NM∥CF，
∴∠FOP=∠NMP=∠NPM=∠FPO，
∴FP=OF=3，
又∵∠PFQ=45°，∴FQ=PQ=PF=，
OQ=OF-FQ=3-，
∴P（，-3），代入y=kx得，k=1-，
综上可知当k=1-或k=-1，△PMN为等腰三角形．