Question

是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：
（1）最大角是最小角的两倍（如图1中，∠A=2∠B，且∠A为最大角，∠B为最小角）；
（2）最大角是最小角的三倍（如图2中，∠A=3∠B，且∠A为最大角，∠B为最小角）；
若存在，求出该三角形三边长；若不存在，请说明理由．（下列各图供探索用）

Answer

（1）设a＞c＞b，根据三角形的三边是连续的自然数设a=n+1，c=n，b=n-1，然后根据正弦定理以及二倍角公式列式求出
cosB=，再利用余弦定理表示出cosB，然后解关于n的方程，如果n是大于1的正整数，则存在，否则不存在；
（2）同（1）的方法，先根据正弦定理以及三倍角公式列式并整理用n表示出sin2B，再根据sin2B是正数判断不存在．
【解析】
（1）设∠A=2∠B，当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数），
根据正弦定理得=，
∵∠A=2∠B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴cosB=，
根据余弦定理得，cosB===，
∴=，
解得n=5，
∴n-1=5-1=4，
n+1=5+1=6，
∴存在三边 4、5、6，使最大角是最小角的两倍；

（2）同（1）=，
∵∠A=3∠B，
∴sinA=sin3B=3sinB-4sin3B，
∴3-4sin2B=，
整理得，4sin2B=3-==-，
∴sin2B=-，
∵n是大于1的正整数，sin2B是正数，
∴满足条件的n值不存在，
故不存在三边为连续自然数的三角形，使最大角是最小角的三倍．