Question

已知，四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AC=AD，对角线AC平分∠BAD，直角三角板30°角的顶点与A点重合，
（1）如图，当三角板的两边分别与BC、CD交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明；
（2）如图，当三角板的两边分别与BC、CD的延长线交于E、F时，通过观察或测量，猜想线段BE和CF之间的数量关系，并证明．

Answer

（1）求出∠BAC=∠EAF=30°，∠B=∠ACD，推出∠BAE=∠CAF，根据AAS证△BAE和△CAF全等即可；
（2）与（1）类似，推出∠BAE=∠CAF，根据ASA证△BAE和△CAF全等即可．
（1）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=75°，
同理∠ACD=∠D=75°，
∴∠B=∠ACD，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．

（2）线段BE和CF之间的数量关系是BE=CF，
证明：∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．