Question

在RT△ABC中，AB=，∠A=90°，∠ABC=45°．点D是AB边的中点，点E从点B开始以每秒一个单位长的速度沿射线CB的方向运动，运动时间为t，连接ED并延长交AC于点F，如图．
（1）设△EBD的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）是否存在t的值，使得AF：FC=1：4？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，S_△ADF：S_△EBD=1：2？

Answer

（1）作DP⊥BC AQ⊥BC，由∠A=90，∠ABC=45°，推出△ABC为等腰直角三角形和BC的长度后，即可得，AQ=3，再由D是AB中点，推出DP的长度，即可推出S=t；
（2）作AG∥BC交EF延长线于G点，通过求证△EBD≌△GAD，即可推出AG=BE=t，CE=6+t，由AG∥BC，可知△AGF∽△CEF，然后根据对应边成比例推出AF：FC=AG：CE后，解方程即可推出t的值；
（3））由（2）得，△AGF∽△CEF，推出比例式，AG：EC=AF：FC后，即可得AF的长度，然后根据三角形面积公式推出S△ADF的值，由S△EBD=t，根据S△ADF：S△EBD=1：2，解方程即可推出t的值，最后分析讨论即可确定的值．
【解析】
（1）作DP⊥BC，AQ⊥BC，垂足分别为P、Q．
∵AB=3，∠A=90，∠ABC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，BC=6，
∴AQ=3，
∵D是AB中点，
∴DP=AQ=，
∴S=BE×DP=t×=t，
∴S=t；

（2）作AG∥BC交EF延长线于G点，
∴∠G=∠E，
∵D为中点，
∴DB=DA，
在△EBD和△GAD中，
，
∴△EBD≌△GAD（AAS），
∴AG=BE=t，CE=6+t，
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CEF，
∴AF：FC=AG：CE，
若AF：FC=1：4 则AG：EC=1：4，
∵AG=t，EC=6+t，
得t：（6+t）=1：4，
解得：t=2，
∴t=2时，AF：FC=1：4；

（3）∵△AGF∽△CEF，
∴AG：EC=AF：FC，
∵AB=AC=3，
∴CE=6+t，
∴AF=，
∴S△ADF=AD×AF=××=，
∵S△EBD=t，
若S△ADF：S△EBD=1：2，
∴：t=1：2，
解得：t=0或3，
∵t=0时，三角形不存在，
∴t=3时，S△ADF：S△EBD=1：2．