Question

某班同学到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：
（I）如图（1），先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC到D，BC到E，使DC=AC，BC=EC，最后测出DE的距离即为AB的长．
（II）如图（2），先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．

阅读后回答下列问题：
（1）方案（I）是否可行？______，理由是______；
（2）方案（II）是否切实可行？______，理由是______．
（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是______；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（II）是否成立？
（4）方案（II）中，若使BC=n•CD，能否测得（或求出）AB的长？理由是______，若ED=m，则AB=______．

Answer

（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形；由题意可证明△ABC∽△EDC，=，故此时方案（Ⅱ）成立．
（4）根据相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△EDC，得出 =进而求出即可．
【解析】
（1）方案（Ⅰ）可行；
∵DC=AC，EC=BC且有对顶角∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE，
∴测出DE的距离即为AB的长．
故方案（Ⅰ）可行．

（2）方案（Ⅱ）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=ED，
∴测出DE的长即为AB的距离．
故方案（Ⅱ）可行．

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形；
若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴=，
∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长．
∵BC=CD，∴ED=AB，
∴方案（Ⅱ）成立．

（4）根据（3）中所求可以得出，
∴=，
∵BC=n•CD，
∴=n，求出DE即可得出答案，
当ED=m，则AB=mn．