Question

问题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．
问题探究：
（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．
类比研究：
（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图所示），且=k（其中k＞0），请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断．
拓展应用：
（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE²+DG²的值．

Answer

（1）①利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用对应角关系得出即可；
②利用三角形全等的判定即可得出BG=DE，再利用对应角关系得出即可；
（2）利用相似三角形的判定得出△BCG∽△DCE，进而得出即可；
（3）利用勾股定理得出BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2，进而得出答案即可．
解；（1）①BG=DE，BG⊥DE；
②仍然成立，选择图2证明如下：
证明：∵四边形ABCD、CEFG都是正方形；
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（2）BG⊥DE，=k，
如图5，
证明：
∵四边形ABCD，CEFG都是矩形，且==k，
∴==k，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，=k，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（3）∵BG⊥DE，
∴BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2，
又∵AB=3，CE=2，
∴BD=3，GE=2，
∴BD2+GE2=（3）2+（2）2=26，
∴BE2+DG2=26．