Question

长方形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，并使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E点．
（1）找出图中与PA相等的线段．并说明理由．
（2）若点E为CD的三等分点，且BC=6，求BP的长．

Answer

（1）可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，证得△ABP≌△PCE，所以PA=PE．
（2）利用点E为CD的三等分点，即可得出DE=DC或DE=DC，分别求出即可．
【解析】
（1）PE=PA．
理由如下：
由DP平分∠ADC可得∠ADP=∠PDC=45°，
又由AD∥BC可得∠ADP=∠DPC，从而得到∠PDC=∠DPC，
所以PC=DC．
又因为AB=DC，所以AB=PC．
由于直角三角板的直角顶点放在点P处，
所以∠APE=90°．
从而∠APB+∠EPC=90°．
∴∠EPC+∠PEC=90°．
∴∠APB=∠PEC．
在△PAB和△EPC中，，
所以△PAB≌△EPC（AAS），
从而可得PE=PA．

（2）∵△PAB≌△EPC，
∴AB=PC=CD，
∵BC=6，
∴BP=6-AB，
当DE=DC，
∴EC=DC=AB，
∴6-AB=AB，
解得：AB=，
∴PB=6-=，
当DE=DC，
∴EC=DC=AB，
∴6-AB=AB，
解得：AB=，
∴PB=6-=，
∴BP的长为：．