Question

已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，且BE=ED，过点B作BF∥AC，交线段AE的延长线于点F．
（1）求证：AC=3BF；
（2）如果AE=ED，求证：AD•AE=AC•BE．

Answer

（1）根据平行线分线段成比例定理由BF∥AC得BF：AC=BE：EC，再利用BD=CD，BE=DE，得CE=3BE，于是即可得到结论；
（2）由AE=ED得AE2=3ED2，把CE=3ED代入得AE2=CE•ED，即AE：ED=CE：AE，根据相似三角形的判定易得△AED∽△CEA，则AD：AC=ED：AE，用EB代替ED即可得到结论．
证明：（1）∵BF∥AC，
∴BF：AC=BE：EC，
又∵BD=CD，BE=DE，
∴CE=3BE，
∴AC=3BF；
（2）∵AE=ED，
∴AE2=3ED2，
又∵CE=3ED，
∴AE2=CE•ED，即AE：ED=CE：AE，
而∠AED=∠CEA，
∴△AED∽△CEA，
∴AD：AC=ED：AE，
又∵ED=BE，
∴AD：AC=BE：AE，
∴AD•AE=AC•BE．