Question

如图，△AOB的顶点A、B在二次函数的图象上，又点A、B分别在y轴和x轴上，tan∠ABO=1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）过点A作AC∥BO交上述函数图象于点C，点P在上述函数图象上，当△POC与△ABO相似时，求点P的坐标．

Answer

（1）首先根据函数解析式求出A的坐标，然后得到AO的长度，接着利用三角函数的定义求出BO的长度，也就得到B的坐标，最后代入解析式即可求出函数的解析式；
（2））首先由AC∥BO交上述函数图象于点C可以求出C的坐标，接着得到AC、AO、OC的长度，由此也可以求出b的值，根据抛物线的对称性可以求出抛物线与x轴的另一交点为D的坐标，从而得到CD的长度，接着利用勾股定理的逆定理证明∠OCD=90°，易得Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO，求出P的坐标．
【解析】
（1）∵点A在二次函数的图象上，…（1分）
在Rt△AOB中，∠AOB=90°
∵，
∵，
∴…（1分）
∵点B在二次函数的图象上
∴
∴…（1分）
∴…（1分）

（2）∵AC∥BO交上述函数图象于点C，
∴设…（1分）
∴，
解得，
∵…（1分）
∴，
根据勾股定理得：，
设抛物线与x轴的另一交点为D，
可得，D（3，0）…（1分）
∴根据两点间的距离公式得：，又OD=3，OC=，
∴OC2+CD2=OD2，∴∠OCD=90°…（1分）
易得，Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO…（2分）
此时D，P重合，A与P重合，
∴或P（3，0）…（2分）．