Question

直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF______|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是______；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

Answer

（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；
②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．
（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．
【解析】
（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC与△CDA中，
∵，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；
②∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°，理由为：
∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，
∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠CBE=∠ACD，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；
则∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°；

（2）探究结论：EF=BE+AF，
证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°
又∵∠BCA=∠α=∠CFA，
∴∠1=∠3；
又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∴EF=EC+CF=BE+AF．