Question

如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC=90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB=3，OC=4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．

Answer

（1）由∠BOC为直角，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠OBC与∠OCB互余，又BE与BF为圆的两条切线，根据切线长定理可得BO为∠EBF的平分线，同理可得CO为∠FCG的平分线，根据角平分线定义分别得到两对角相等，根据等量代换可得∠EOB与∠OCG也互余，可得四个角相加为180°，即同旁内角互补，根据同旁内角互补两直线平行可得证；
（2）连接OE，OF，OG，由AB，BC及CD为圆的切线，可得OE与AB垂直，OF与BC垂直，OG与CD垂直，再根据切线长定理可得BE=BF，又OB=OB，利用HL可得直角三角形OEB与直角三角形OFB全等，可得扇形OEM与扇形OFM的圆心角相等，又半径相等，可得这两个扇形面积相等，同时三角形OEB与三角形OFB全等，利用等式的基本性质可得阴影BEM与阴影BFM面积相等，同理可得阴影NCF与阴影NCG面积相等，故用2（三角形OBC的面积减去扇形OMN的面积）可求出阴影部分的面积，而三角形OBC的面积等于两直角边乘积的一半求出，扇形OMN的圆心角为直角，半径为直角三角形斜边上的高，利用扇形面积求出，将求出的面积代入即可求出所求阴影部分的面积．
【解析】
（1）∵∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又BE与BF为圆O的切线，
∴BO为∠EBF的平分线，
∴∠OBC=∠OBF，
同理可得∠OCB=∠OCG，
∴∠OBF+∠OCG=90°，
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG=180°，
即∠ABF+∠DCF=180°，
∴AB∥CD；

（2）连接OE，OF，OG，如图所示：

由BE和BF为圆的切线，
可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∴BE=BF，又OB=OB，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴∠BOE=∠BOF，S△OEB=S△OFB，
∴S扇形OEM=S扇形OFM，
∴S△OEB-S扇形OEM=S△OFB-S扇形OFM，
即S阴影BEM=S阴影BFM，
同理S阴影NFC=S阴影NCG，
由∠BOC=90°，OB=3，OC=4，
根据勾股定理得：BC=5，
∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，
∴OB•OC=BC•OF，即OF=，
∴S△BOC=OB•OC=6，
S扇形OMN==，
则阴影部分面积S=2（S阴影BFM+S阴影NFC）
=2（S△BOC-S扇形OMN）=12-．