Question

已知，如图，抛物线y=x²+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
（1）求p、q的值．
（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求出点C、D和A的坐标，后根据直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称列方程组求解；
（2）假设存在这样的Q点，再通过求解四边形PAQD的边AQ和PD的关系说明假设不成立；
（3）先假设存在满足条件的点E，先求出直线AE的解析式，E点即是AE和CD的交点，最后证明△PAE与△PAC相似．
【解析】
（1）在抛物线y=x2+px+q中，
当x=0时，y=q．即：C点的坐标为（0，q）．
因为：OA=OC，D点与A点关于y轴对称．
所以：A点的坐标为（q，0）；D点的坐标为（-q，0）．
将A（q，0）代入y=x2+px+q中得：0=q2+pq+q
即：q（q+p+1）=0
所以：q=0，（不符合题意，舍去．）
      q+p=-1   ①
现在求点P的坐标，即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标：
横坐标：-；纵坐标：，
设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C（0，q）、D（-q，0）两点，所以有方程组
q=b，0=-qk+b．
解得：k=1，b=q．
所以直线CD的解析式为：y=x+q．
因为点P在直线CD上，
所以=-+q
解得：p=0（不符合题意，舍去）
       p=2   ②
又已经求得的①、②两等式得：p=2，q=-3．
因此；p、q的值分别为 2和-3．

 （2）∵p=2，q=-3．
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
A、D、C、P四点的坐标分别为（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）．
直线CD的方程式为y=x-3，
设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
        y=x+b（因两直线平行，所以一次项系数相等）
因为点A（-3，0）在直线AQ上，将其代入y=x+b中得：0=-3+b，解得：b=3
所以：直线AQ的方程为：y=x+3
下面求直线AQ（y=x+3）与抛物线y=x2+2x-3的交点Q的坐标：
 解方程组y=x2+2x-3，y=x+3．得x1=2，y1=5；x2=-3，y2=0．
即：两交点为A（-3，0）；Q（2，5）．
下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离：从图形可知
|AQ|=5，|PD|=4，
所以|AQ|≠|PD|
这说明AQ与PD不相等，所以在抛物线上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点．

 （3）存在E点，且E点坐标为（9，6）．
具体求解过程如下：
设E点是直线PC上的点，且满足AE垂直AP
求直线AP的方程，设直线AP的方程为y=kx+b
因为A（-3，0），P（-1，-4）两点在直线AP上，所以有方程组
  0=-3k+b，-4=-k+b．解得：k=-2，b=-6．
所以直线AP的方程式为：y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC，所以两直线一次项系数之积等于-1
所以，设直线AE方程式为y=x+b
A（-3，0）点在直线AE上，所以b=，
所以直线AE的方程式为y=x+，
直线AE与直线CD相交于E点，解两直线方程组成的方程组得：x=9，y=6．
即E点的坐标为（9，6）．
在三角形ACD中，因为OA=OD=OC，AD垂直CO，
所以∠ACD是直角，
在直角三角形APE中，AC是斜边PE上的高，
所以△APC∽△EPA．