Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）求△PQD的面积S（cm²）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（2）在运动过程中，当t为何值时，△PQD是以∠PDQ为顶角的等腰三角形？并说明：此时，△PQD的面积恰好等于PQ²．
（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

根据题意分别画出相应的图形，（1）利用勾股定理求出BD的长度，再求出点P到达点D的时间以及点Q到达点C与点B的时间，然后分①点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，利用∠BCD的正弦求出PE的长度，再表示出DQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；②点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，利用∠CBD的正弦表示出PE，并用t表示出CQ、BQ的长度，然后根据S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，列式整理即可得解．
（2）由DP=DQ，推出10-2t=3t，t的值，得PD的值，确定Q点与C点重合，根据（1）所推出的结论求得S△PQD=cm2，做PH⊥DC，由PH∥BC，得比例式，便可求出PH，DH的值，继而得HQ的值，运用勾股定理求出PQ2=cm2后，便可确定S△PQD=PQ2；
（3）分情况进行讨论，①若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，结合图形和题意推出比例式后，把PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm代入，即可求出t=，②若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，由勾股定理得PD2=PQ2=DQ2，由P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，推出BP=2t，CD+CQ=3t，可知DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，继而推出PD2、PQ2、DQ2，关于t的表达式，根据等式PD2=PQ2=DQ2，即可求出t=．
【解析】
（1）∵AB=6cm，BC=8cm，
∴BD===10，
∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，
∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，
点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，
到达点B的时间是（6+8）÷3=秒，
①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，
则sin∠BDC==，
即=，
解得PE=（5-t），
S△PQD=×3t•（5-t）=t（5-t）=-t2+12t（0＜t≤2）；
②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，
则sin∠CBD==，
即=，
解得PE=t，
此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，
S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，
=×8×6-×6（3t-6）-×（14-3t）×t，
=24-9t+18-t+t2，
=t2-t+42（2≤t＜），
综上所述，S与t的关系式为S=-t2+12t（0＜t≤2）；
S=t2-t+42（2≤t＜）；

（2）如图2，∵DP=DQ，PB=2t，DQ=3t，BD=10cm，
∴10-2t=3t，
∴t=2，
∴DQ=3t=6，
∴Q点与C点重合，
∴S△PQD=-t2+12t=cm2，
做PH⊥DC，
∴PH∥BC，
∴，
∵t=2，
∴PD=6cm，
∴，
∴PH=cm，DH=cm，
∴HQ=HC=6-=cm，
∵∠PHC=90°，
∴PQ2=cm2，
∴PQ2=cm2，
即S△PQD=PQ2；

（3）存在这样的t，使得△PQD为直角三角形，
①如图3，若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，
∵矩形ABCD，
∴PQ∥BC，
∴，
∵PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm，
∴，
∴t=，
②如图4，若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，
∴QP⊥BD，
∴PD2=PQ2=DQ2，
∵P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，
∴BP=2t，CD+CQ=3t，
∵CD=6cm，BD=10cm，BC=8cm，
∴DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，
∵∠C=90°，PQ⊥BD，
∴PD2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
PQ2=BQ2-BP2=（14-3t）2-（2t）2=196-84t+5t2，
DQ2=CD2+CQ2=62+（3t-6）2=72+9t2-36t，
∵PD2=PQ2=DQ2，
∴100-40t+4t2+196-84t+5t2=72+9t2-36t，
解方程得：t=，
∴当t=或者t=时，△PQD为直角三角形．