Question

如图，已知A（2，4），以A为顶点的抛物线经过原点交x轴于B．
（1）求抛物线解析式；
（2）取OA上一点D，以OD为直径作⊙C交x轴于E，作EF⊥AB于F，求证EF是⊙C的切线；
（3）设⊙C半径为r，EF=m，求m与r的函数关系式及自变量r的取值范围；
（4）当⊙C与AB相切时，求⊙C半径r的值．

Answer

（1）已知了抛物线顶点的坐标，可用顶点式的二次函数通式来设二次函数的解析式，将原点的坐标代入解析式中即可求出二次函数的解析式；
（2）要证EF是圆C的切线，那么可连接CE，证CE⊥EF即可，由于EF⊥AB，那么只需证明CE∥AB即可得出EF是切线的结论，那么OC=CE，根据抛物线的对称性可得OA=AB，由这两组相等的线段即可得出∠OEC=∠ABO，由此可得证；
（3）由（2）可知∠ABO=∠AOB，那么可通过三角函数来解，根据A，O，B的坐标不难得出∠AOB，∠ABO的正弦值，那么可过C作OB的垂线，垂足为M，可在直角三角形OCM中，用∠AOB的正切值以及r的长表示出OM，也就求出了OE，进而可表示出BE的长，然后在直角三角形BFE中，根据∠ABO的正弦值用BE表示出BF，由此可得出关于m，r的函数关系式；
（4）如果⊙C与AB相切，设切点为G，那么如果连接CG，四边形CEFG就是正方形，那么r=m=EF，那么根据（3）中m，r的函数关系式，将m=r代入（3）的函数关系式中即可求出r的值．
【解析】
（1）设y=a（x-2）2+4，由于抛物线过原点（0，0），则有
0=4a+4，
即a=-1．
因此抛物线的解析式为：y=-x2+4x．

（2）连CE，则∠COE=∠CEO，
根据A是抛物线的顶点，可知OA=AB，即∠AOB=∠OBA．
∴∠OEC=∠ABO．
∴CE∥AB，又EF⊥AB，
∴CE⊥EF
∴EF是⊙C的切线．

（3）分别过C、A作OB的垂线，垂足分别为M、N，
直角三角形OAN中，cos∠AOB=，
因此：OM=，OE=2OM=，EB=4-
∴（0＜r＜）；

（4）设⊙C切AB于点G
连接CG，则CG⊥AB
∴∠CGF=∠EFG=∠CEF=90°
∴四边形CEFG为矩形
又CE=CG
∴四边形CEFG为正方形
∴EF=r
∴m=r①
由（3）得，
解得r=．