Question

如图，已知，正方形ABCD和一个圆心角为45°的扇形，圆心与A点重合，此扇形绕A点旋转时，两半径分别交直线BC、CD于点P．K．
（1）当点P、K分别在边BC．CD上时，如图（1），求证：BP+DK=PK．
（2）当点P、K分别在直线BC．CD上时，如图（2），线段BP、DK、PK之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论．
（3）在图（3）中，作直线BD交直线AP、AK于M、Q两点．若PK=5，CP=4，求PM的长．

Answer

（1）延长CD到N，使DN=BP，连接AN，根据正方形的性质和全等三角形的判定SAS证△ABP≌△ADN，推出AN=AP，∠NAD=∠PAB，求出∠NAK=∠KAP=45°，根据SAS证△NAK和△KAP全等即可；
（2）在BC上截取BN=DK，连接AN，与（1）类似证△ADK≌△ABN和△KAP≌△NAP，推出BN=DK，NP=PK即可；
（3）在DC上截取DN=BP，连接AN，与（1）类似证△ADN≌△ABP和△KAP≌△KAN，推出BP=DN，NK=PK，得出DK=PB+PK，求出正方形的边长，根据勾股定理求出AN、AK、AP，求出∠ABM=∠ACK=135°，∠PAB=∠CAK，证△MAB和△KAC相似，得出比例式，代入求出即可．
（1）证明：延长CD到N，使DN=BP，连接AN，
∵正方形ABCD，
∴∠ABP=∠ADC=90°=∠BAD，AD=AB，
∴∠ADN=90°=∠ABP，
在△ABP和△ADN中
，
∴△ABP≌△ADN，
∴AN=AP，∠NAD=∠PAB，
∵∠BAD=90°，∠PAK=45°，
∴∠BAP+∠KAD=45°，
∴∠NAD+∠DAK=45°，
即∠NAK=∠KAP=45°，
在△NAK和△KAP中
，
∴△PAK≌△NAK，
∴NK=KP，
∴BP+DK=PK．

（2）【解析】
BP=DK+PK，
理由是：在BC上截取BN=DK，连接AN，
与（1）类似△ADK≌△ABN，
∴AK=AN，∠KAD=∠BAN，
∵∠KAP=45°，
∴∠NAB+∠DAP=45°，
∴∠NAP=90°-45°=45°=∠KAP，
与（1）类似△KAP≌△NAP（SAS），
∴PK=PN，
∴BP=BN+NP=DK+PK，
即BP=DK+PK．

（3）【解析】
在△CPK中，CP=4，PK=5，由勾股定理得：CK=3，
在DC上截取DN=BP，连接AN，
由（1）可知：AN=AP，
与（2）证法类似△NAK≌△PAK，
∴PK=NF，
∴DK=PB+PK，
即DC+3=4-BC+5，
∵正方形ABCD，DC=BC，
解得：AD=DC=BC=AB=3，
连接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠ACB=∠DBC=∠MBP=45°，
∵∠ABC=∠PCK=90°，
∴∠ABM=∠ACK=45°+90°=135°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=3，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP==，
在Rt△ADK中，由勾股定理得：AK==3，
∵∠PAK=∠BAC=45°，∠BAK=∠BAK，
∴∠PAB=∠KAC，
∵∠ABM=∠ACK，
∴△MAB∽△KAC，
∴=，
即=，
解得：PM=，
答：PM的长是．