Question

已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动（点E与点C、D两点不重合），△AEP为，直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过点E作EM∥BC交AF于点M．
（1）若∠BAD=120°（如图1），求证：BF+DE=EM；
（2）若∠BAD=90°（如图2），则线段BF、DE、EM的数量关系为______

Answer

（1）延长FB到N，使BN=ED，连接AN、EF，通过求证△ADE≌△ABN，推出AN=AE，∠DAE=∠BAN，根据∠AD=120°，∠EAF=60°，推出∠NAF=∠EAF，继而推出△ANF≌△AEF，求得NF=EF，∠AFN=∠AFE后，结合ME∥BC，推出∠AFB=∠EMF=∠AFE，即可推出ME=EF，可得BF+DE=EM．
（2）延长CB至N点，使BN=DE，根据题意即可推出△ABN≌△ADE，求得∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，求得∠BAN+∠BAF=30°，由∠P=30°，∠AEP=90°，得，∠BAN+∠BAF=30°，再由ME∥BC，推出∠NFA=∠FME，得△ANF∽△PEM，由AN=AE，即可推出，通过计算可得BF+DE=．
（3）过D点做DG∥AB交BC于G点，作EK⊥BC于K点，连接EF，由四边形ABGD为平行四边形，∠BAD=120°，∠ABC=∠C=60°，推出△DGC为等边三角形，设AD=3x，BF=2x，根据BF+DE=EM，EM=7，得，DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，继而推出BC=6x，FC=4x，求出EK=，FK=4x-后，根据勾股定理，即可求出x的值，继而求得EC的长度．
【解析】
（1）如图3，延长FB到N，使BN=ED，连接AN、EF，
∵∠AEP=90°，∠P=30°，
∴∠PAE=60°，
∵AB=AD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABN=∠D，
∵在△ADE和△ABN中，
，
∴△ADE≌△ABN（SAS），
∴AN=AE，∠DAE=∠BAN，
∵∠BAD=120°，∠PAE=60°，
∴∠NAF=∠EAF，
∵在△ANF和△AEF中，
，
∴△ANF≌△AEF（SAS），
∴NF=EF，∠AFN=∠AFE，
∵ME∥BC，
∴∠AFB=∠EMF=∠AFE，
∴ME=EF，
∴BF+DE=EM，

（2）如图4，延长CB至N点，使BN=DE，
∵AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD为正方形，
∵在△ABN和△ADE中，
，
∴△ABN≌△ADE（SAS），
∴∠EAD=∠NAB，NF=DE+BF，AN=AE，
∵∠P=30°，∠AEP=90°，
∴∠PAE=60°，，
∴∠EAD+∠BAF=30°，
∴∠BAN+∠BAF=30°，
∠NAP=∠P，
∵ME∥BC，
∴∠NFA=∠FME，
∴△ANF∽△PEM，
∴，
∵AN=AE，
∴，
∴BF+DE=，

（3）过D点做DG∥AB交BC于G点，作EK⊥BC于K点，连接EF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABGD为平行四边形，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴△DGC为等边三角形，
设AD=3x，BF=2x，
∵BF+DE=EM，EM=7，
∴DE=7-2x，EC=5x-7，EF=EM=7，
∵AB=AD，四边形ABGD为平行四边形，
∴AD=BG，
∴BC=6x，FC=4x，
∵EK⊥BC，
∴EK=，FK=4x-，
∵EF2=FK2+EK2，
∴（）2+[]2=49，
解方程的：x=2，
∴EC=3．