Question

如图，已知顶点为P的抛物线经过点A（-3，6），并x轴交于B（-1，0），C两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求四边形ABPC的面S；
（3）试判断四边形ABPC的形状，并说明理由．

Answer

（1）把A、B两点的坐标代入解析式即可求出未知数的值，从而求出函数解析式．
（2）根据（1）所求抛物线的解析式可求出B点及P点坐标，根据△ABC及△BPC的面积即可求出四边形ABPC的面积．
（3）过点A和点P分别作x轴的垂线段AE和PF，根据抛物线的对称性及直角三角形的判定定理可判断出△BPC是等腰直角三角形，在由A点坐标及CE两点之间的距离可求出△AEC为等腰直角三角形，可判断出四边形ABPC是直角梯形．
【解析】
（1）把A、B两点的坐标代入解析式得到
，
解得
所以，抛物线的解析式为y=x2-x-；

（2）由抛物线解析式易得C（3，0），顶点P（1，-2），
S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=BC•yA+BC•|yp|=（3+1）×6+（3+1）×2=16，

（3）四边形ABPC是直角梯形．理由如下：
如图，过点A和点P分别作x轴的垂线段AE和PF，
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|yp|=2，BC=4
∴PF=
∴△PBC是直角三角形，且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中，AE=|yA|=6，CE=xc-xa=3-（-3）=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BP∥AC
又∠BPC=90°
∴四边形ABPC是直角梯形．