Question

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD与CE的数量关系是______；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

Answer

（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．
【解析】
（1）①BD=CE；
②AM=AN，∠MAN=∠BAC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中
∵
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE=∠ABD，
∵DM=BD，EN=CE，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
∵
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，
∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；

（2）AM=k•AN，
∠MAN=∠BAC．