Question

如图，已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为D．M是OB上一动点（不运动到O点、B点），过M点作半圆的切线交直线x=4于N，交AB于F，切点为P．连接DN交AB于E，连接DM．
（1）证明：∠OMD=∠ADN；
（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，求直线MN的解析式．

Answer

（1）直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点可以得出A，B的坐标，A的坐标是（4，0），易证AN为半圆D的切线，根据OM、MN、NA均为半圆D的切线，则∠1=∠2=∠OMN，∠MND=∠AND=∠3，有∠2+∠MND=90°，则∠MDN=90°∠4+∠MD0=90°，而∠1+∠MD0=90°，有∠1=∠4即∠0MD=∠ADN；
（2）由△DNO∽△NDA根据相似三角形的对应边的比相等，可以得到；
（3）当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，应分∠3=∠AED和∠3=∠4两种情况讨论．求出M，N的坐标，就可以根据待定系数法求函数解析式．
【解析】
（1）证明：连接ON．
∵直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴OA=OB=4，
又∵直线x=4经过点（4，0）且垂直于x轴，
即直线AN经过A点，且垂直于OA，
∴AN为半圆D的切线，
∴AN∥OB，
∴∠OMN+∠3=180°，
又∵OM、MN、NA均为半圆D的切线，
∴∠1=∠2=∠OMN，∠MND=∠AND=∠3，
∴∠2+∠MND=90°，则∠MDN=90°，
∴∠4+∠MD0=90°，而∠1+∠MD0=90°，
∴∠1=∠4即∠0MD=∠ADN；

（2）【解析】
由△DNO∽△NDA可得，=，即=，
∴y与x的函数解析式为y=（0＜x＜4）；

（3）【解析】
当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时，则有：
①若∠3=∠AED，
在Rt△DNA中∠4+∠3=90°①
在△AEDK，∠4+∠AED=135°②
由②-①可得，∠AED=∠3=90°，
∴MN平行于是x轴，此时y=x=2，
∴直线NM的解析式为y=2；
②若∠3=∠4，
在Rt△DNA中∠4+∠3=90°，即2∠4+∠3=180°，
∴∠3=∠4=60°在Rt△DNA中，y=AN=AD•tan60°=2，
将y值代入解析式得x=，
∴M点坐标为（0，），N点坐标为（4，2），
由M、N两点的坐标求得直线MN的解析式为y=x+，
∴直线MN的解析式为y=2或y=x+．