Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在y轴上坐标为（0，3），点B在x轴上坐标为（10，0），BC⊥x轴，直线AC交x轴于M，tan∠ACB=2．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P在线段OB上，设OP=x，△APC的面积为S．请写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）探索：在线段OB上是否存在一点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（4）当x=4时，设顶点为P的抛物线与y轴交于D，且△PAD是等腰三角形，求该抛物线的解析式．（直接写出结果）

Answer

（1）先求出C点坐标，结合A点坐标用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）根据△APC的面积=△MPC的面积-△PAM的面积得出；
（3）假设在线段OB上存在一点P，使得△APC是直角三角形，由于∠ACP≤∠ACB＜90°，那么有两种情况：①∠PAC=90°；②∠APC=90°．由△AOP∽△PBC，根据相似三角形的性质得出；
（4）根据抛物线的顶点公式求出抛物线的解析式．
【解析】
（1）∵OA∥BC，
∴∠OAM=∠ACB，
∵tan∠ACB=2，
∴tan∠OAM=2，
∴OM=2OA=6，
∴BM=OM+OB=6+10=16．
∴BC=0.5BM=8，
∴C（10，8）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（0，3），C（10，8）两点的坐标代入，
得b=3，10k+b=8，
∴k=0.5．
∴直线AC的解析式为y=0.5x+3；

（2）∵△APC的面积=△MPC的面积-△PAM的面积=（x+6）×8-（x+6）×3=2.5x+15，
∴S=2.5x+15．
∵点P在线段OB上，
∴0≤x≤10；

（3）假设在线段OB上存在一点P，使得△APC是直角三角形．
由于∠ACP≤∠ACB＜90°，那么有两种情况：①∠PAC=90°；②∠APC=90°．
①如果∠PAC=90°，由勾股定理，可知AP2+AC2=PC2，
∴OP2+OA2+OB2+（BC-OA）2=PB2+BC2，
∴x2+32+102+（8-3）2=（10-x）2+82，
解得x=1.5；
②如果∠APC=90°，
在△AOP与△PBC中，∵∠AOP=∠PBC=90°，∠OAP=∠BPC=90°-∠OPA，
∴△AOP∽△PBC，
∴OA：BP=OP：BC，
∴3：（10-x）=x：8，
解得x=4或6．
综上，可知x=1.5或4或6；

（4）根据题意得：P（4，0）；
若PA=AD，则D（0，8）或（0，-2），
则此时抛物线为：y=（x-4）2或y=-（x-4）2；
若PA=PD，则点D（0，-3），
则此时抛物线为：y=-（x-4）2；
若AD=PD，则（0，-），
此时抛物线为：y=-（x-4）2．
故抛物线为：y=（x-4）2或y=-（x-4）2，y=-（x-4）2，y=-（x-4）2．