Question

如图是反比例函数y=的图象，当-4≤x≤-1时，-4≤y≤-1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．

Answer

（1）中用待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）经观察后可发现当MN为直线y=x与双曲线的两个交点时，线段MN最短．联立两方程可求得两交点的坐标M（2，2），（-2，-2）．然后根据两点之间的距离公式求得线段MN的最小值．
【解析】
（1）∵在反比例函数的图象中，当-4≤x≤-1时，-4≤y≤-1，
∴反比例函数经过坐标（-4，-1），
将坐标代入反比例函数y=中，
得反比例函数的解析式为y=（2分）；

（2）当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将y=x代入，
解得，
即M（2，2），N（-2，-2）．
∴OM=2．
则MN=4．
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4．