Question

如图，抛物线y=-2x²+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．
（1）求线段AB长；
（2）证明：OP=PC；
（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，△OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的解析式，易求得A、B的坐标，利用勾股定理即可求得AB的长．
（2）首先根据A、B的坐标，求出直线AB的解析式，设出点P的横坐标，利用直线AB的解析式，即可表示出P点的纵坐标，由此可得到MP、OM、PN的长，从而证得OM=PN，而∠OPC=90°，则∠OPM、∠PCN同为∠CPN的余角，再加上一组直角，即可由AAS判定△OPM≌△PCN，由此得证．
（3）由（2）的全等三角形知PM=CN，由此可求得BC的表达式，OB的长易求得，根据三角形的面积公式即可得到S、m的函数关系式．（需注意的是，自变量的取值范围会影响到PM的表达式，因此要分类讨论）
（4）此题应分三种情况讨论：
①P为等腰三角形的顶角顶点，由于∠PBN=45°，若PC=PB，那么CP⊥PB，显然不符合题意；
②C为等腰三角形的顶角顶点，此时PC=BC，由于△OAB是等腰直角三角形，因此P、A重合时，△PCB也是等腰直角三角形，故A点符合点P的要求；
③B为等腰三角形的顶角顶点，此时PB=BC；当C点在第一象限时，显然不存在这样的P点，故此时C点必在第四象限，首先设出点P的坐标，表示出AP、PB、BC的长，根据所得等量关系，即可得到点P的坐标．
【解析】
（1）抛物线y=-2x2+x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=-，x=1；
故A（0，1），B（1，0）；
∴AB=．（2分）

（2）∵A（0，1），B（1，0），
∴直线AB：y=-x+1；
设P（a，-a+1），则有：
PM=a，OM=1-a，PN=MN-PM=1-a，
故OM=PN；
∵∠OPC=90°，则∠OPM+∠CPN=∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠OPM=∠PCN；
又∵∠OMP=∠CPN=90°，OM=PN，
∴△OPM≌△PCN，
∴OP=CP．（5分）

（3）易知OA=OB=1，则∠OBA=∠OAB=45°；
若AP=m，则PM=AM=CN=m，OM=BN=1-m，
①当0＜m＜时，BC=BN-NC=1--=1-m，
故S=；（7分）
②当＜m＜时，BC=CN-BN=-（1-）=m-1，
故S=-．（9分）

（4）假设存在符合条件的P点；
①△PCB以P为顶角顶点，此时点C位于第一象限；
由于∠PBN=45°，若PC=PB，则∠CPB=90°，显然不合题意；
②△PCB以C为顶角顶点；
由于△OAB是等腰直角三角形，当P、A重合时，△PCB也是等腰直角三角形，
故A点符合P点的要求，即P（0，1）；
③△PBC以B为顶角顶点；
当C点在第一象限时，PB＞BC，若PB=BC，则C点必在第四象限；
设P（a，1-a），则AP=a，PB=（1-a），BC=CN-BN=a-（1-a）=2a-1；
若PB=BC，则2a-1=-a，
解得a=，
故P（，1-）；
综上所述，存在符合条件的P点，且坐标为P（0，1）或（，1-）．（12分）