Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3，0），连接BC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）点P在线段BC的延长线上，连接AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点E，分别连接EA、EP．
①若CP=6，直接写出∠AEP的度数；
②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；
（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC与AP交于点F，设△AEF的面积为S₁，△CFP的面积为S₂，y=S₁-S₂，运动时间为t（t＞0）秒时，求y关于t的函数关系式．

Answer

（1）由一次函数y=x+3求出A、B两点，再根据两点间坐标公式求得AB=BC=AC，则可证△ABC为等边三角形．
（2）①因为△ABC为等边三角形，CP=AC，DE是AP的中垂线，故C、D、E三点共线，进而求出四边形AEPC是菱形，可以求解；
②连接EC，由于E在y轴上，即E在AC的垂直平分线上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分线上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由（1）知∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，那么∠EAC、∠EPC的度数和也是120°，由此可求得∠AEP=360°-240°=120°，即∠AEP的度数不变．
（3）由于S1、S2的面积无法直接求出，因此可求（S1-S2）这个整体的值，将其适当变形可得（S1+S△ACF）-（S2+S△ACF），即S1-S2的值可由△ACE和△ACP的面积差求得，过E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，则CM=PM=，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，BM=6+，通过解直角三角形即可求得BE的长，从而可得到OE的长，到此，可根据三角形的面积公式表示出△ACE和△ACP的面积，从而求得S1-S2的表达式，由此得解．
【解析】
（1）由一次函数y=x+3，
则A（-3，0），B（0，3），C（3，0）．
再由两点间距离公式可得出：AB=BC=AC=6，
∴△ABC为等边三角形．

（2）①，连接CD，由题意得，C、D、E三点共线，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
∴∠AEP=120°．

②连接EC，
∵E点在y轴上，且A、C关于y轴对称，
∴E点在线段AC的垂直平分线上，
即EA=EC；
∵E点在线段AP的垂直平分线上，则EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=60°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=120°，
∴∠EAC+∠EPC=120°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=240°，
故∠AEP=360°-240°=120°，
∴∠AEP的度数不会发生变化，仍为120°．

（3）如图，过E作EM⊥BP于M、过A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，则有：
CM=MP=CP=；
∴BM=BC+CM=6+；
在Rt△BEM中，∠MBE=30°，则有：BE=BM=（6+）；
∴OE=BE-OB=（6+）-3=+t；
故S△AEC=AC•OE=×6×（+t）=3+t，
S△ACP=PC•AN=×t×3=t；
∵S△AEC=S1+S，S△ACP=S+S2，
∴S△AEC-S△ACP=S1+S-（S2+S）=S1-S2
=3+t-t=3-t，
即y=3-t．