Question

如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
【解析】
若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴=，
∴=，
∴AP2-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．
若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴=，
∴=，
∴AP=．
检验：当AP=时，∵BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AP的长为1、、6，
故选C．