Question

如图1，在x轴正半轴上以OB为斜边、BC为直角边向第一象限分别作等腰Rt△AOB和Rt△CDB． OA=8，BC=4，在∠ABD内有一半径为1，且与AB、BD相切的⊙P．
（1）写出⊙P的圆心坐标；
（2）若△CDB在x轴上以每秒2个单位的速度向左匀速平移，⊙P同时相应在BA和BD上滑动，且保持与BA、BD相切，至⊙P终止运动．设运动时间为t秒，试用含t的代数式表示P点坐标；并证明P点的横、纵坐标之和为定值；
（3）如图2，过D点作x轴的平行线交AB于E，D’B’与AB交于M，在满足（2）的前提下，t取何值时，⊙P可成为△D’EM的内切圆；如果⊙P与DE相切于点F，求△AEF的面积．

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质可求，点P的横坐标和纵坐标；
（2）由等腰直角三角形BBM的性质可知：设点P的横坐标为8-t，把P点的纵横坐标用t表示出来，从而找出P点的横、纵坐标之间的关系．
（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，根据内切圆的性质，分别求出D′M，B′M，D′M，BB′，再根据已知关系求出t值，从而求出三角形AEF的面积．
【解析】

（1）作PM⊥AB，
∵圆P与AB、BD与P相切，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABD=90°，
∴∠PBA=45°，
∴∠ABO+∠PBA=90°，即BP⊥x轴，
而BP=r=，OB=OA=8，
∴点P的横坐标为8，纵坐标为，则P（8，），

（2）根据题意可知，点P的横坐标为8-t，纵坐标为+t，则P（8-t，+t），
因为8-t++t=9，所以P点的横、纵坐标之和为定值；

（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，D′M=2+，B′M=4-D′M=3-2，BB′=6-2，
即2t=6-2，得t=3-，
S△AEF=×（+1）（4--1-3+）=2．