Question

如图所示，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函数y=（x＞0）的图象上，△OP₁A₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n…都是等腰直角三角形，斜边OA₁，A₁A₂…A_n-1A_n，都在x轴上，则y₁+y₂+…y_n=    ．

Answer

由于△OP1A1是等腰直角三角形，过点P1作P1M⊥x轴，则P1M=OM=MA1，所以可设P1的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a=3，从而求出A1的坐标是（6，0），再根据△P2A1A2是等腰直角三角形，设P2的纵坐标是b，则P2的横坐标是6+b，把（6+b，b）代入函数解析式得到b=，解得b=3-3，则A2的横坐标是6，同理可以得到A3的横坐标是6，An的横坐标是6，根据等腰三角形的性质得到y1+y2+…yn等于An点横坐标的一半，因而值是3．
【解析】
如图，过点P1作P1M⊥x轴，
∵△OP1A1是等腰直角三角形，
∴P1M=OM=MA1，
设P1的坐标是（a，a），
把（a，a）代入解析式y=（x＞0）中，得a=3，
∴A1的坐标是（6，0），
又∵△P2A1A2是等腰直角三角形，
设P2的纵坐标是b，则P2的横坐标是6+b，
把（6+b，b）代入函数解析式得b=，
解得b=3-3，
∴A2的横坐标是6+2b=6+6-6=6，
同理可以得到A3的横坐标是6，
An的横坐标是6，
根据等腰三角形的性质得到y1+y2+…yn等于An点横坐标的一半，
∴y1+y2+…yn=．
故答案为：．