Question

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer

（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明；
（3）图3中的结论是PR-PQ=．
【解析】
（2）图2中结论PR+PQ=仍成立．
证明：连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴BD===5．
∵S△BCD=BC•CD=BD•CK，
∴3×4=5CK，
∴CK=．
∵S△BCE=BE•CK，S△BEP=PR•BE，
S△BCP=PQ•BC，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，
∴BE•CK=PR•BE+PQ•BC，
又∵BE=BC，
∴CK=PR+PQ，
∴CK=PR+PQ，
又∵CK=，
∴PR+PQ=；

（3）过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，图3中的结论是PR-PQ=．