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已知:如图,等边三角形AOB的顶点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在x...

已知:如图,等边三角形AOB的顶点A在反比例函数y=manfen5.com 满分网(x>0)的图象上,点B在x轴上.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线AB的函数表示式;
(3)在y轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形?若存在,直接把符合条件的点P的坐标都写出来;若不存在,请说明理由.

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(1)设出OB的长,然后根据等边三角形的特点用OB的长表示出△OAB的面积,根据反比例函数的解析式知,△OAB的面积为,联立其面积表达式即可求得OB的长,从而确定点B的坐标. (2)已知等边三角形的边长,易求得A点的坐标,然后用待定系数法求解即可. (3)首先设出P点的坐标,然后分别表示出OP2、OA2、AP2,分三种情况讨论: ①OP=OA,②OP=AP,③OA=AP,根据三种情况下所能列出的不同等量关系式,可求得符合题意的点P坐标. 【解析】 (1)根据题意得,△OAB的面积为;(1分) 设OB=a,S△OAB==,(2分) ∴OB=2,∴B(2,0).(3分) (2)易知A(1,),(4分) 把A(1,),B(2,0),代入y=kx+b得,(5分) 解得,k=-,b=2; ∴y=-x+2.(6分) (3)符合条件的点P有: (0,2)(0,2)(0,-2)(0,).(9分) (1-2个点(1分),3个点(2分),4个3分) 理由:设点P(0,y),已知A(1,),O(0,0); 则AP2=1+(y-)2,OP2=y2,OA2=4; ①当OP=AP时,OP2=AP2,即: y2=1+(y-)2,解得y=, ∴P(0,); ②当AP=OA时,AP2=OA2,即: 1+(y-)2=4,整理得:y2-2y=0, 解得y=0(舍去),y=2, ∴P(0,2); ③当OP=OA时,OP2=OA2,即: y2=4,解得y=±2, ∴P(0,2)或(0,-2); 综上可知:符合条件的P点有四个,且坐标为:P(0,2)(0,2)(0,-2)(0,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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