Question

已知：如图，等边三角形AOB的顶点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在x轴上．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的函数表示式；
（3）在y轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合条件的点P的坐标都写出来；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设出OB的长，然后根据等边三角形的特点用OB的长表示出△OAB的面积，根据反比例函数的解析式知，△OAB的面积为，联立其面积表达式即可求得OB的长，从而确定点B的坐标．
（2）已知等边三角形的边长，易求得A点的坐标，然后用待定系数法求解即可．
（3）首先设出P点的坐标，然后分别表示出OP2、OA2、AP2，分三种情况讨论：
①OP=OA，②OP=AP，③OA=AP，根据三种情况下所能列出的不同等量关系式，可求得符合题意的点P坐标．
【解析】
（1）根据题意得，△OAB的面积为；（1分）
设OB=a，S△OAB==，（2分）
∴OB=2，∴B（2，0）．（3分）

（2）易知A（1，），（4分）
把A（1，），B（2，0），代入y=kx+b得，（5分）
解得，k=-，b=2；
∴y=-x+2．（6分）

（3）符合条件的点P有：
（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．（9分）
（1-2个点（1分），3个点（2分），4个3分）
理由：设点P（0，y），已知A（1，），O（0，0）；
则AP2=1+（y-）2，OP2=y2，OA2=4；
①当OP=AP时，OP2=AP2，即：
y2=1+（y-）2，解得y=，
∴P（0，）；
②当AP=OA时，AP2=OA2，即：
1+（y-）2=4，整理得：y2-2y=0，
解得y=0（舍去），y=2，
∴P（0，2）；
③当OP=OA时，OP2=OA2，即：
y2=4，解得y=±2，
∴P（0，2）或（0，-2）；
综上可知：符合条件的P点有四个，且坐标为：P（0，2）（0，2）（0，-2）（0，）．