Question

如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB²=OE•OF；
（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．

Answer

（1）由ED∥BC，∠EAB=∠BCF，可证得∠EAB=∠D，即可证得AB∥CD，则得四边形ABCD为平行四边形；
（2）由平行线分线段成比例定理，即可证得OB2=OE•OF；
（3）首先作辅助线：连接BD，交AC于点H，连接OD，易证得△ODF∽△OED，即可证得OD2=OE•OF，则得到OB=OD，又由OH⊥BD，即可证得四边形ABCD为菱形．
【解析】
（1）∵DE∥BC，
∴∠D=∠BCF，
∵∠EAB=∠BCF，
∴∠EAB=∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）∵DE∥BC，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴OB2=OE•OF；

（3）连接BD，交AC于点H，
∵DE∥BC，
∴∠OBC=∠E，
∵∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴，
∴OD2=OE•OF，
∴OB2=OF•OE，
∴OB=OD，
∵平行四边形ABCD中BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．