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已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别...

已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:______
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)
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(1)由三角形全等可以证明AH=AB, (2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB, (3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x. 【解析】 (1)如图①AH=AB. (2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN. ∵ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°, 在Rt△AEB和Rt△AND中,, ∴Rt△AEB≌Rt△AND, ∴AE=AN,∠EAB=∠NAD, ∴∠EAM=∠NAM=45°, 在△AEM和△ANM中,, ∴△AEM≌△ANM. ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高, ∴AB=AH. (3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND, ∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°. 分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD, 由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD. 设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3, 在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2 ∴52=(x-2)2+(x-3)2(6分) 解得x1=6,x2=-1.(不符合题意,舍去) ∴AH=6.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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