Question

在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC，垂足为D；BE⊥AC，垂足为E，AD交BE于F，连接CF．

（1）若∠BAC是锐角，如图1，求证：△CDF是等腰直角三角形；
（2）若∠BAC是钝角，如图2，求证：△CDF是等腰直角三角形．

Answer

（1）先证明BD=AD，可证明△BFD≌△ACD，则FD=CD，从而得出△CDF是等腰直角三角形；
（2）可证△BFD≌△ACD，则FD=CD，△CDF是等腰直角三角形．
证明：（1）∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠BAD，
∴BD=AD，
∵BE⊥AC，垂足为E，
∴∠FBD+∠ACB=90°，
∵∠CAD+∠ACB=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
∵∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD≌△ACD，
∴FD=CD，
∴△CDF是等腰直角三角形．

（2）同（1）可证△BFD≌△ACD，
∴FD=CD，
∴△CDF是等腰直角三角形．