Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
（1）请写出四个不同类型的正确结论；
（2）连接CD，设∠CDB=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．

Answer

（1）AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，本题满足垂径定理．
（2）根据四边形ACDB为圆内接四边形，可以得到α-β=90°，再根据∠CDO=∠ODB=∠CDB得到α＞2β．
【解析】
（1）不同类型的正确结论有：
①BE=CE；
②BD=CD；
③∠BED=90°；
④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE2+BE2=OB2；
⑧S△ABC=BC•OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC；等等．
（说明：1．每写对一条给（1分），但最多只给（4分）；
（结论与辅助线有关且正确的，也相应给分）．

（2）α与β的关系式主要有如下两种形式，请参照评分：
①答：α与β之间的关系式为：α-β=90°（5分）
证明：∵AB为圆O的直径
∴∠A+∠ABC=90°①（6分）
又∵四边形ACDB为圆内接四边形
∴∠A+∠CDB=180°②（7分）
∴②-①得：∠CDB-∠ABC=90°
即α-β=90°（8分）
（说明：关系式写成α=90°+β或β=α-90°的均参照给分．）
②答：α与β之间的关系式为：α＞2β（5分）
证明：∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
又∵∠OBD=∠ABC+∠CBD
∴∠ODB＞∠ABC（6分）
∵OD⊥BC，
∴CD=BD
∴∠CDO=∠ODB=∠CDB（7分）
∴∠CDB＞∠ABC
即α＞2β．（8分）
（说明：若得出α与β的关系式为α＞β，且证明正确的也给满分．）