Question

等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A₁，B₁，C₁，△A₁B₁C₁的各边与它的内切圆相切于A₂，B₂，C₂，…，以此类推．若△ABC的面积为1，则△A₅B₅C₅的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设等边△ABC的边长为a，则可得出△A1B1C1是等边三角形，且边长为a，同理，得出等边△A2B2C2的边长为（）2a，…，等边△A5B5C5的边长为（）5a，由于所有的等边三角形都相似，所以根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△A5B5C5的面积．
【解析】
∵等边△ABC的各边与它的内切圆相切于A1，B1，C1，设等边△ABC的内心为O，
∴点O也是等边△ABC的外心，
∴A1，B1，C1分别是△ABC各边的中点，
设等边△ABC的边长为a，则根据三角形中位线定理，得出△A1B1C1的边长为a，
同理，等边△A2B2C2的边长为（）2a，
…，
等边△A5B5C5的边长为（）5a．
又∵△ABC∽△A5B5C5，△ABC的面积为1，
∴△ABC的面积：△A5B5C5的面积=[a：（）5a]2，
∴△A5B5C5的面积=．
故选D．