Question

整数x，x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₃满足条件：x=0，|x₁|=|x+1|，|x₂|=|x₁+1|，|x₃|=|x₂+1|，…，|x₂₀₀₃|=|x₂₀₀₂+1|．
（1）试用仅含x₂₀₀₃的代数式表示|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|，
（2）求|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值．

Answer

（1）将各等式进行平方运算，可去掉绝对值，表示出x20032，然后进行化简运算即可得出答案．
（2）根据已知得出当x=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=-1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立进而求出即可．
【解析】
（1）由已知得：

于是x20032=x2+2（x+x1+x2+x2002）+2003，
又∵x=0，
∴2（x1+x2+x2003）=x20032+2x2003-2003=（x2003+1）2-2004，
即|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|=|（x2003+1）2-2004|．

（2）由于x1+x2+x3+…+x2002+x2003为整数，则x2003+1是偶数，
比较|442-2004|与|462-2004|的大小，可得：
|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|≥|442-2004|=34．
当x=x2=x4=x1960=0，x1=x3=x5=x1959=-1，x1961=1，x1962=2，x1963=3，x2003=43时，等号成立．
所以|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值为34．